Учебник по Visual C++ .Net


Пример с матрицей МКР - часть 3


Возвращаясь к шаблону из трех точек, напомним, что производная по х — это в некотором роде степень изменения функции, то есть скорость ее роста или падения вдоль этой координаты. Приближенно она равна:

dU/dx=(Ur-Uc)/h

для правого отрезка и

dU/dx=(Uc-Ul)/h

для левого. Теперь надо записать приближенную оценку для второй производной с учетом коэффициента теплопроводности. Он может иметь разные значения (р! и рг) в левой и в правой частях шаблона:

d/dx(pdU/dx)={(pr[Ur-Uc])/h-(pl[Uc-Ul])/h}/h (2)

Произведя подстановку в исходное дифференциальное уравнение (1) и упростив выражение, получим алгебраическое уравнение:

aUl+bUc+cUr=0 (3)

связывающее температуры трех соседних узлов сетки с физическими свойствами прилежащих участков пространства, так как значения коэффициентов уравнения зависят от р, k и h:

a=pl/h^2; c=pr/h^2; b=-a-c+k; (4)

Коэффициент а описывает свойства левой части шаблона, а с — правой, а Ь — обеих вместе. Чуть позже мы увидим, что коэффициент b попадет в диагональ матрицы. Теперь надо примерить шаблон ко всем узлам сетки. Узел номер 1 даст уравнение:

a1U0+b1U1+c1U2=0,

узел номер 2:

a2U1+b2U2+c2U3=0,

и т. д. Здесь важно следить за индексами. Для простоты пока считаем, что коэффициенты а,, b,, с, не изменяются при переходе от узла к узлу. В узлах сетки вблизи границ (то есть в узле 1 и узле N-1) уравнения упрощаются, так как £/„ и UN считаются известными и поэтому перемещаются в правую часть уравнения. Так, первое уравнение системы станет:

b1U1+c1U2=0,

а последнее:

an-1Un-2+bn-1Un=+1=0,

Все остальные уравнения будут иметь вид (3). Теперь пора изобразить всю систему уравнений, используя матричные обозначения и не отображая многочисленные нули. Для простоты будем считать, что N = 5:

b1

c1

U1

-a1U0

a2

b2

c2

U2

0

a3

b3

c3

U3

=

0

a4

b4

U4

-c4U5


Вы видите, что матрица системы уравнений имеет характерную регулярную трех-диагональную структуру, а структура вектора правых частей тоже легко прочитывается. Граничные; условия краевой задачи заняли подобающие им крайние места, а внутренние позиции — нули.




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин